弧度和角度是两种测量角度的方式，它们之间可以通过简单的数学公式进行转换。

1. 弧度和角度的定义

角度（度数）：我们平时最常用的测量角度的单位是角度，通常用**度（°）**表示。一个完整的圆周为 360∘360^\circ360∘，即一个周角为 360 度。

弧度（radians）：弧度是另一种测量角度的方式，它基于圆的弧长定义。一个完整的圆周角为 2π2\pi2π 弧度。换句话说，当角度等于圆的弧长与半径相等时，这个角的大小为 1 弧度。

2. 弧度与角度的关系

弧度和角度之间的转换公式是基于以下关系：

360∘=2π 弧度

360^\circ = 2\pi \text{ 弧度}

360∘=2π 弧度

因此，1 弧度等于：

1 弧度=360∘2π=180∘π≈57.2958∘

1 \text{ 弧度} = \frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ

1 弧度=2π360∘​=π180∘​≈57.2958∘

反之，1 度等于：

1∘=2π360=π180 弧度≈0.01745 弧度

1^\circ = \frac{2\pi}{360} = \frac{\pi}{180} \text{ 弧度} \approx 0.01745 \text{ 弧度}

1∘=3602π​=180π​ 弧度≈0.01745 弧度

3. 弧度与角度的转换公式

角度转弧度：

θ弧度=θ角度×π180

\theta_{\text{弧度}} = \theta_{\text{角度}} \times \frac{\pi}{180}

θ弧度​=θ角度​×180π​

例如，将 90∘90^\circ90∘ 转换为弧度：

90∘=90×π180=π2 弧度

90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ 弧度}

90∘=90×180π​=2π​ 弧度

弧度转角度：

θ角度=θ弧度×180π

\theta_{\text{角度}} = \theta_{\text{弧度}} \times \frac{180}{\pi}

θ角度​=θ弧度​×π180​

例如，将 π4\frac{\pi}{4}4π​ 弧度转换为角度：

π4 弧度=π4×180π=45∘

\frac{\pi}{4} \text{ 弧度} = \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45^\circ

4π​ 弧度=4π​×π180​=45∘

4. 常见角度与弧度的转换

角度（°）弧度（radians）0∘0^\circ0∘0 弧度30∘30^\circ30∘π6\frac{\pi}{6}6π​ 弧度45∘45^\circ45∘π4\frac{\pi}{4}4π​ 弧度60∘60^\circ60∘π3\frac{\pi}{3}3π​ 弧度90∘90^\circ90∘π2\frac{\pi}{2}2π​ 弧度180∘180^\circ180∘π\piπ 弧度270∘270^\circ270∘3π2\frac{3\pi}{2}23π​ 弧度360∘360^\circ360∘2π2\pi2π 弧度5. 弧度的优势

在数学和物理学中，弧度有一些优势，尤其是当处理周期性函数（如正弦和余弦）时：

使用弧度可以简化三角函数的表达式和计算。例如，函数 sin⁡(x)\sin(x)sin(x) 和 cos⁡(x)\cos(x)cos(x) 在弧度下周期是 2π2\pi2π，这与弧度定义中的 2π2\pi2π 相对应。

弧度与圆的弧长有直接的几何关系。当圆的半径为 rrr 时，弧度为 θ\thetaθ 的圆弧的弧长 sss 为：

s=r⋅θ

s = r \cdot \theta

s=r⋅θ

这个公式只有在弧度下才能直接应用。

6. 实例计算

将 120∘120^\circ120∘ 转换为弧度：

θ弧度=120×π180=2π3 弧度

\theta_{\text{弧度}} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ 弧度}

θ弧度​=120×180π​=32π​ 弧度

将 π3\frac{\pi}{3}3π​ 弧度转换为角度：

θ角度=π3×180π=60∘

\theta_{\text{角度}} = \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ

θ角度​=3π​×π180​=60∘

7. 在编程中的应用

在编程语言中，像 Python、C++、JavaScript 等大多数语言的数学库（如 math 或 numpy）中的三角函数（如 sin、cos）都默认使用弧度作为输入。因此在进行计算时，通常需要将角度转换为弧度。

示例：Python 中的弧度和角度转换

import math

# 角度转弧度

degree = 90

radian = math.radians(degree) # 使用 radians() 函数

print(f"{degree} 度 = {radian} 弧度")

# 弧度转角度

radian = math.pi / 2

degree = math.degrees(radian) # 使用 degrees() 函数

print(f"{radian} 弧度 = {degree} 度")

输出结果：

90 度 = 1.5707963267948966 弧度

1.5707963267948966 弧度 = 90.0 度

总结

角度和弧度是两种不同的测量角度的方式，彼此可以通过 1 弧度=180∘π1 \text{ 弧度} = \frac{180^\circ}{\pi}1 弧度=π180∘​ 和 1∘=π180 弧度1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ 弧度}1∘=180π​ 弧度 进行转换。弧度在处理周期性函数和几何问题时非常方便，尤其是在编程和数学公式中广泛应用。